4. Exponenciální vyhlazování, ETS, Strukturní Modely

Exponenciální vyhlazování¶

Stará, jednoduchá, ale efektivní metoda pro práci s časovými řadami.
Umožňuje interpolaci a extrapolaci (predikci) časových řad s různými komponentami (trend, sezónnost).

Komponentní forma¶

Flexibilnější než vážené průměry, umožňuje snadné začlenění dalších komponent.
Základní model:
- Forecast equation: $\hat{y}_{t+h|t} = l_t$
- Smoothing equation: $l_t = \alpha y_t + (1 - \alpha) l_{t-1}$
Umožňuje jednokrokové předpovědi i predikce budoucích hodnot.

Volba $l_0$ a $\alpha$ ¶

$l_0$ může být založeno na průměru historických dat.
$\alpha$ může být zvoleno heuristicky nebo odhadnuto (např. metodou nejmenších čtverců).

Jednoduché exponenciální vyhlazování (SES)¶

Předpokládá absence trendu a sezónnosti.
Je založen na extrémních přístupech a ednoduché exponenciální vyhlazování potom leží mezi těmito dvěma extrémy:
- Poslední hodnota: Predikce jsou rovna poslední pozorované hodnotě
- Aritmetický průměr: Predikce jsou rovny aritmetickému průměru dosud pozorovaných hodnot
Vyhlazovací parametr $\alpha$ určuje váhu pro novější vs. starší data.

Dvojité exponenciální vyhlazování (DES)¶

Rozšíření SES pro řady s trendem.
Zahrnuje Holtovu metodu s lineárním trendem a metodu s tlumeným trendem.

Holtova-Wintersova metoda (Trojité exponenciální vyhlazování)¶

Kombinuje hladinu, trend a sezónní komponentu.
Má aditivní a multiplikativní varianty, závislé na konstantnosti nebo variabilitě sezónních složek.
Využívá tři vyhlazovací parametry ( $\alpha, \beta^*, \gamma$ ) pro každou komponentu.
Tato metoda je vhodná pro komplexní časové řady, kde je potřeba zohlednit více faktorů, jako jsou trend a sezónní vlivy.

ETS Modely Obecně¶

ETS (Error, Trend, Seasonal) modely jsou specifické typy modelů exponenciálního vyhlazování. Jejich základem jsou stavové rovnice, které umožňují popsat a předpovědět časové řady s ohledem na chybu (error), trend a sezónní složky.

Komponenty ETS Modelů¶

Chyba (Error): Může být Additivní (stálá v čase) nebo Multiplikativní (mění se v závislosti na úrovni časové řady).
Trend: Může být None (žádný), Additivní (lineární) nebo Additivní damped (zpomalující lineární).
Sezónní složka (Seasonal): Může být None (žádná), Additivní (stálá sezónní variabilita), nebo Multiplikativní (sezónní variabilita se mění s úrovní časové řady).

Příklady ETS Modelů¶

ETS(A,N,N): Jednoduché exponenciální vyhlazování s aditivními chybami.
ETS(A,A,N): Holtova lineární metoda s aditivními chybami.
ETS(A,A,M): Holtova-Wintersova multiplikativní metoda.
Další kombinace: Existují různé další kombinace, které lze vytvořit pomocí různých komponent.

Výhody ETS Modelů¶

Porovnání Modelů: Možnost využití informačních kritérií (AIC, BIC...) pro porovnání různých modelů.
Statistický Pohled na Šum: Umožňuje kvantifikovat neurčitosti a poskytovat predikční intervaly spolehlivosti.
Podobnost s Exponenciálním Vyhlazováním: Bodové predikce z ETS modelů jsou podobné jako u ekvivalentních metod exponenciálního vyhlazování.

Struktura ETS Modelů¶

ETS modely mohou být vyjádřeny pomocí následujících stavových rovnic:

$\begin{aligned} x_t &= A(x_{t-1}) + Q(x_{t-1})\varepsilon_t,\\ y_t &= H(x_{t-1}) + R(x_{t-1})\varepsilon_t, \end{aligned}$

kde $x_t = [l_t, b_t, s_{t-1},\ldots,s_{t-m+1}]^\intercal$ představuje stavový vektor.

Aplikace a Praktické Použití¶

Predikce Časových Řad: ETS modely jsou široce používány pro predikci a analýzu časových řad v různých oblastech, od ekonomie po meteorologii.
Flexibilita a Přizpůsobitelnost: Díky různým kombinacím komponent lze modely přizpůsobit specifickým potřebám a charakteristikám dat.

Strukturní Modely¶

Strukturní modely časových řad poskytují větší flexibilitu než tradiční ETS modely díky zavedení více šumových proměnných. Jsou ideální pro použití Kalmanova filtru a snadno se rozšiřují o další členy.

Local Linear Trend¶

Základní Princip: Model lokálního lineárního trendu rozšiřuje jednoduché exponenciální vyhlazování (SES) a ETS(A,N,N) o náhodnou procházku.
Struktura Modelu: $y_t = l_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma_\varepsilon^2)$ $l_t = l_{t-1} + \xi_t, \quad \xi_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma_\xi^2)$ Zde $y_t$ je pozorovaná hodnota, $l_t$ je level a $\varepsilon_t, \xi_t$ jsou šumové proměnné.
Odhad Variací: Klíčovým úkolem je odhadnout variance $\sigma_\varepsilon^2$ a $\sigma_\xi^2$ .

Dynamický Trend¶

Rozdíl od Lokálního Lineárního Trendu: Dynamický trend model přidává náhodnou procházku do levelové složky, podobně jako v ETS(A,A,N).
Struktura Modelu: $y_t = l_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma_\varepsilon^2)$ $l_t = l_{t-1} + b_{t-1} + \xi_t, \quad \xi_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma_\xi^2)$ $b_t = b_{t-1} + \zeta_t, \quad \zeta_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma_\zeta^2)$ Zde $b_t$ je trendová složka a $\zeta_t$ je další šumová proměnná.
Odhad Variací: Cílem je odhadnout variance $\sigma_\varepsilon^2$ , $\sigma_\xi^2$ a $\sigma_\zeta^2$ .

Výhody¶

Větší Flexibilita: Tyto modely umožňují přesnější modelování a lepší zachycení dynamiky časových řad.
Kalmanův Filtr: Možnost použití Kalmanova filtru pro odhad parametrů zvyšuje přesnost a efektivitu těchto modelů.
Odhad Variací: Klíčovým aspektem je odhad variancí šumových složek $\sigma_\varepsilon^2$ , $\sigma_\xi^2$ a $\sigma_\zeta^2$ , které určují chování a stabilitu modelu.

Komparativní Analýza ETS a Strukturních Modelů¶

Rozšiřitelnost a Flexibilita¶

Sezónní a Další Modely: Strukturní modely nabízejí možnost rozšíření do sezónních verzí a dalších složitějších formátů, což ukazuje na jejich vysokou flexibilitu.
Kalmanův Filtr: Rovnice obou typů modelů jsou kompatibilní s použitím Kalmanova filtru, což je klíčové pro efektivní odhad parametrů.

Odhady a Koeficienty¶

Odhad Variací ve Strukturních Modelech: Ve strukturních modelech se zaměřujeme na odhad variancí šumových složek.
Odhad Koeficientů v ETS: Na rozdíl od strukturních modelů, v ETS modelech odhadujeme koeficienty $\alpha$ , $\beta^*$ atd.

Flexibilita a Omezení¶

Jediná Šumová Složka v ETS: ETS modely obsahují pouze jednu šumovou složku, což může být omezení ve flexibilitě.
Volnější Strukturní Modely: Strukturní modely jsou "volnější", s více šumovými složkami, což zvyšuje jejich schopnost modelovat složitější dynamiku dat.

Nelinearita¶

Nelineární Možnosti ETS: ETS modely mohou zahrnovat nelinearitu, například v multiplikativních modelech.
Nelineární Filtry ve Strukturních Modelech: Pro zahrnutí nelinearity ve strukturních modelech je potřeba použít nelineární filtry, jako jsou rozšířený Kalmanův filtr (EKF) nebo Unscented Kalmanův filtr (UKF).

Chybějící Data¶

Zvládání Chybějících Dat ve Strukturních Modelech: Strukturní modely jsou robustní vůči chybějícím datům.