Praktika 1 otazky

pr0

Je zadán vektor

$$V = \begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z \end{pmatrix} \sim N \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right)$$

(a) Najděte střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $U = (X + Y, Y - Z)^T$.

(b) Vysvětlete, proč je zadané rozdělení vícerozměrné normální.

pr1

Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny $X \sim N(-1, 4)$ a $Y \sim N(3, 25)$. Naleznete $E[Z]$ a $var[Z]$, je-li $Z = (X + Y , 2X , 1 - Y)$.

pr2

Náhodné veličiny $X$ a $Y$ mají sdružené pravděpodobnostní možných kombinací hodnot dle následující tabulky:

	y = 0	y = 1	y = 2
x = -1	1/8	1/8	0
x = 0	0	0	1/2
x = 1	1/4	0	0

• Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$.
• Naleznete podmíněnou střední hodnotu $X$ danou $Y = y$.

pr3

Náhodné veličiny $X$ a $Y$ mají sdružené pravděpodobnosti možných kombinací hodnot dle následující tabulky:

	y = -1	y = 0	y = 1
x = 0	0	1/3	0
x = 1	1/8	1/4	1/8
x = 2	0	1/6	0

(a) Naleznete střední hodnotu náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$. (b) Naleznete varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$. (c) Rozhodněte a vysvětlete, zda jsou náhodné veličiny $X$ a $Y$ nekorelované.

pr4

Uvažujme náhodné veličiny $X \sim Unif(0, 1)$ a $Y = 2X^2 - 1$. Označme dále $Z = (X, Y)^T$. (a) Určete střední hodnotu $E[Z]$. (b) Uvažujme náhodný vektor $T = (1, 1) \cdot Z$. Naleznete $E[T]$.

pr5

Náhodné veličiny $X$ a $Y$ mají sdružené pravděpodobnosti možných kombinací hodnot dle následující tabulky:

	y = 0	y = 1
x = 1	1/6	1/12
x = -1	1/2	1/4

(a) Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$. (b) Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $U = (X, X + Y)^T$.

pr6

Buď $X \sim Exp(1/2)$ náhodná veličina. Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Y = (1 - 2X , X + 2 , 1)^T$.

pr7

Uvažujme tři nezávislé náhodné veličiny $X \sim N(0, 1)$, $Y \sim N(1, 2)$, $Z \sim N(-1, 3)$. Uvažujme náhodný vektor $U = (X , Y + Z)^T$. (a) Určete střední hodnotu a varianční matici vektoru $U$. (b) Jaké je rozdělení náhodného vektoru $U$? Zdůvodněte.

pr8

Náhodné veličiny $X$ a $Y$ mají sdružené pravděpodobnosti možných kombinací hodnot dle následující tabulky:

	y = 1	y = 2	y = 3
x = -1	0	1/4	0
x = 0	0	0	1/2
x = 1	1/4	0	0

(a) Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$. (b) Naleznete rozdělení náhodné veličiny $U = X - Y$.

pr9

Buď $X \sim Exp(1/2)$ a $Y \sim Exp(1/3)$ nezávislé náhodné veličiny. (a) Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (Z_1, Z_2, Z_3)^T = (1 - X - Y , X , Y)^T$. (b) Rozhodněte a vysvětlete, zda jsou náhodné veličiny $Z_1$ a $Z_3$ nezávislé.