Praktika 1 resene priklady

pr0

$$V = \begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z \end{pmatrix} \sim N \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right)$$

Odpověď

(a) Potřebujeme najít střední hodnotu a varianční matici pro náhodný vektor $U = (X + Y, Y - Z)^T$.

Matice $A$ je vytvořena na základě přechodu z vektoru $X = (X, Y, Z)^T$ na vektor $U = (X + Y, Y - Z)^T$.

V tomto případě je transformace vektoru $X$ na $U$ lineární, protože každá složka vektoru $U$ je lineární kombinací složek vektoru $X$.

Pokud se podíváme na prvky vektoru $U$, vidíme, že první prvek $U_1 = X + Y$ je součet první a druhé složky vektoru $X$. Druhý prvek $U_2 = Y - Z$ je rozdíl druhé a třetí složky vektoru $X$.

Tyto transformace můžeme zapsat do matice $A$ tak, že řádky matice odpovídají transformacím pro jednotlivé prvky vektoru $U$. První řádek tedy bude [1, 1, 0] a druhý řádek bude [0, 1, -1].

Definujeme nový vektor $U$ jako

$$U = AX$$

kde

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

a $X = (X, Y, Z)^T$.

Nyní vypočteme střední hodnotu $U$. Střední hodnotu (nebo očekávanou hodnotu) náhodného vektoru lze vypočítat pomocí matice přechodu a střední hodnoty původního vektoru:

$$E(U) = AE(X)$$

Zadáno bylo, že

$$E(X) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Dosazením do vzorce získáme

$$E(U) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Nyní potřebujeme vypočítat varianční matici $U$. Varianční matici náhodného vektoru lze vypočítat pomocí matice přechodu a varianční matice původního vektoru:

$$\text{Var}(U) = A \text{Var}(X) A^T$$

Zadáno bylo, že

$$\text{Var}(X) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$

Dosazením do vzorce získáme

$$\text{Var}(U) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 10 \end{pmatrix}$$

(b) Zadané rozdělení je vícedimenzionální normální rozdělení (též multivariátní normální rozdělení), protože splňuje následující vlastnosti:

1. Je definováno na $R^n$ - každý náhodný vektor je $n$-dimenzionální reálný vektor.
2. Má střední hodnotu, která je také $n$-dimenzionální reálný vektor.
3. Má varianční matici, což je $n \times n$ reálná matice, která je symetrická a pozitivně semidefinitní.

Zadaný vektor a jeho vlastnosti odpovídají těmto definicím, a proto je zadané rozdělení vícedimenzionální normální rozdělení.

pr1

Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny $X \sim N(-1, 4)$ a $Y \sim N(3, 25)$. Naleznete $E[Z]$ a $var[Z]$, je-li $Z = (X + Y , 2X , 1 - Y)$.

Odpověď Můžeme definovat vektor $X$ jako

$$X = \begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix} \sim N \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix} \right)$$

a nový vektor $Z$ jako

$$Z = AX$$

kde

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

V tomto případě

$$E(Z) = AE(X) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$$

a

$$\text{Var}(Z) = A \text{Var}(X) A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 & 8 & -25 \\ 8 & 16 & 0 \\ -25 & 0 & 25 \end{pmatrix}$$

Takže, $E[Z] = (2, -2, -2)$ a $\text{Var}[Z] = \begin{pmatrix} 29 & 8 & -25 \\ 8 & 16 & 0 \\ -25 & 0 & 25 \end{pmatrix}$.

pr2

Náhodné veličiny $X$ a $Y$ mají sdružené pravděpodobnostní možných kombinací hodnot dle následující tabulky:

	y = 0	y = 1	y = 2
x = -1	1/8	1/8	0
x = 0	0	0	1/2
x = 1	1/4	0	0

• Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$.
• Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, X+Y)^T$.
• Naleznete podmíněnou střední hodnotu $X$ danou $Y = y$.

Odpověď

První dvě části úlohy jsou založeny na výpočtu střední hodnoty a varianční matice pro daný náhodný vektor. Třetí část je založena na výpočtu podmíněné střední hodnoty.

1. Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$.

Střední hodnota náhodného vektoru $Z$ je daná vektorem středních hodnot $X$ a $Y$:

$$E[Z] = E[(X, Y)^T] = (E[X], E[Y])^T.$$

Použijeme tabulku sdružené pravděpodobnosti pro výpočet $E[X]$ a $E[Y]$: $<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">E[X] = \sum x \cdot P(X=x) = -1 \cdot (\frac{1}{8}+\frac{1}{8}) + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} = 0</span><script type="math/tex">E[X] = \sum x \cdot P(X=x) = -1 \cdot (\frac{1}{8}+\frac{1}{8}) + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} = 0$ $$E[Y] = \sum y \cdot P(Y=y) = 0 \cdot (\frac{1}{8}+\frac{1}{4}) + 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{4} = 1.$$

Takže $E[Z] = (0, 1)^T$.

Varianční matice vektoru $Z$ je

$$\text{Var}[Z] = \begin{pmatrix} \text{Var}[X] & \text{Cov}[X, Y] \\ \text{Cov}[Y, X] & \text{Var}[Y] \end{pmatrix}$$

kde

$$\text{Var}[X] = \sum (x - E[X])^2 \cdot P(X=x) = (-1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (0 - 0)^2 \cdot \frac{1}{2} + (1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

$$\text{Var}[Y] = \sum (y - E[Y])^2 \cdot P(Y=y) = (0 - 1)^2 \cdot \frac{3}{8} + (1 - 1)^2 \cdot \frac{1}{8} + (2 - 1)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$

$$\text{Cov}[X, Y] = \text{Cov}[Y, X] = \sum (x - E[X])(y - E[Y]) \cdot P(X=x, Y=y) = (-1 - 0)(0 - 1) \cdot \frac{1}{8} + (-1 - 0)(1 - 1) \cdot \frac{1}{8} + (1 - 0)(0 - 1) \cdot \frac{1}{4} = \frac{-1}{8}.$$

Takže

$$ \text{Var}[Z] = \begin{pmatrix} \text{Var}[X] & \text

{Cov}[X, Y] \ \text{Cov}[Y, X] & \text{Var}[Y] \end{pmatrix} = $$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{-1}{8} \\ \frac{-1}{8} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$$ . $$ 2. Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Z = (X, X+Y)^T$.

Tento příklad je mírně odlišný od prvního, protože zahrnuje transformaci vektoru $(X, Y)^T$ na $(X, X+Y)^T$. Můžeme použít stejnou metodu výpočtu střední hodnoty:

$$E[Z] = E[(X, X+Y)^T] = (E[X], E[X+Y])^T.$$

Použijeme tabulku sdružené pravděpodobnosti pro výpočet $E[X+Y]$:

$$ E[X+Y] = (-1+0)(1/8) + (-1+1)(1/8) + (-1+2)(0) + (0+0)(0) + (0+1)(0) + (0+2)(1/2) + (1+0)(1/4) + (1+1)(0) + (1+2)(0) =

1/2. $$

Takže $E[Z] = (-1/4, 1/2)^T$.

Varianční matice může být vypočítána obdobně jako v prvním příkladě.

1. Naleznete podmíněnou střední hodnotu $X$ danou $Y = y$.

Podmíněná střední hodnota je dána výrazem

$$E[X|Y=y] = \sum_x x p(X=x|Y=y).$$

Pro $Y=0$, $Y=1$, a $Y=2$ bychom mohli vypočítat $$E[X|Y=0] = \sum x \cdot P(X=x|Y=0) = -1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

$$E[X|Y=1] = \sum x \cdot P(X=x|Y=1) = -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = -1$$

$$E[X|Y=2] = \sum x \cdot P(X=x|Y=2) = -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$$

Takže podmíněná střední hodnota $X$ daná $Y = y$ je $E[X|Y=0] = \frac{1}{3}$, $E[X|Y=1] = -1$, a $E[X|Y=2] = 0$.

pr4

Uvažujme náhodné veličiny $X \sim Unif(0, 1)$ a $Y = 2X^2 - 1$. Označme dále $Z = (X, Y)^T$. (a) Určete střední hodnotu $E[Z]$. (b) Uvažujme náhodný vektor $T = (1, 1) \cdot Z$. Naleznete $E[T]$.

Odpověď

(a) Střední hodnotu vektoru $Z$ najdeme tak, že určíme střední hodnoty jednotlivých složek.

• $X$ je rovnoměrně rozděleno na intervalu $(0, 1)$, takže $E[X] = \frac{1}{2}$.

• $Y = 2X^2 - 1$. Vypočítáme $E[Y]$ jako

  $$E[Y] = E[2X^2 - 1] = 2E[X^2] - E[1] = 2E[X^2] - 1.$$

  Jelikož $X \sim Unif(0, 1)$, máme $E[X^2] = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$, takže $E[Y] = 2*\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.

Takže $E[Z] = (E[X], E[Y])^T = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})^T$.

(b) Náhodný vektor $T$ je skalární součin vektoru $(1, 1)$ a $Z = (X, Y)^T$. Tedy $T = (1, 1) \cdot Z = X + Y$. Střední hodnotu $T$ tedy najdeme jako

$$E[T] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.$$

pr6

Otazka: Buď $X \sim Exp(1/2)$ náhodná veličina. Naleznete střední hodnotu a varianční matici náhodného vektoru $Y = (1 - 2X , X + 2 , 1)^T$.

Odpoved:

Nechť $X$ je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem $\lambda = \frac{1}{2}$, tj. $X \sim \text{Exp}(\frac{1}{2})$. Nyní máme náhodný vektor $Y$ definovaný jako $Y = (1 - 2X, X + 2, 1)^T$. Chceme nalézt střední hodnotu a varianční matici tohoto vektoru.

Střední hodnota náhodného vektoru $Y$ je vektor, jehož složky jsou střední hodnoty jednotlivých složek vektoru $Y$. Tedy,

$$E[Y] = E\begin{bmatrix} 1-2X \\ X + 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E[1-2X] \\ E[X + 2] \\ E[1] \end{bmatrix}$$

Pro exponenciální rozdělení je střední hodnota $\frac{1}{\lambda}$, tedy $E[X] = 2$, a variance je $\frac{1}{\lambda^2}$, tedy $\text{Var}(X) = 4$.

Nyní spočteme jednotlivé složky vektoru střední hodnoty:

$$E[1-2X] = 1 - 2E[X] = 1 - 2 \cdot 2 = -3,$$

$$E[X + 2] = E[X] + 2 = 2 + 2 = 4,$$

$$E[1] = 1.$$

Takže střední hodnota vektoru $Y$ je

$$E[Y] = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Varianční matice náhodného vektoru $Y$, označme ji $Cov(Y)$, je matice, kde prvek na $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci je roven kovarianci mezi $i$-tou a $j$-tou složkou vektoru $Y$. Tedy,

$$Cov(Y) = \begin{bmatrix} \text{Var}(1-2X) & \text{Cov}(1-2X, X+2) & \text{Cov}(1-2X, 1) \\ \text{Cov}(X+2, 1-2X) & \text{Var}(X+2) & \text{Cov}(X+2, 1) \\ \text{Cov}(1, 1-2X) & \text{Cov}(1, X+2) & \text{Var}(1) \end{bmatrix}$$

Spočteme jednotlivé prvky matice:

$$\text{Var}(1-2X) = 4\text{Var}(X) = 4 \cdot 4 = 16,$$

$$\text{Cov}(1-2X, X+2) = \text{Cov}(-2X, X) = -2\text{Var}(X) = -2 \cdot 4 = -8,$$

$$\text{Cov}(1-2X, 1) = 0,$$

$$\text{Var}(X+2) = \text{Var}(X) = 4,$$

$$\text{Cov}(X+2, 1) = 0,$$

$$\text{Var}(1) = 0.$$

Takže varianční matice vektoru $Y$ je

$$Cov(Y) = \begin{bmatrix} 16 & -8 & 0 \\ -8 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

pr10

Otazka: Mějme náhodný vektor $Z = (X, Y)^T$ se sdruženou hustotou pravděpodobnosti

$$f(x, y) = \begin{cases} e^{-3x} & \text{pro } x > 0 , 0 \leq y \leq 3 \\ 0 & \text{jinak} \end{cases}.$$

(a) Nalezněte $E[Z]$ a $\text{Var}[Z]$.

(b) Nalezněte $\text{Var}(3X - 2Y)$. Odpoved:

(a) Chceme najít střední hodnotu a varianci náhodného vektoru $Z = (X, Y)^T$ se sdruženou hustotou pravděpodobnosti

$$f(x, y) = \begin{cases} e^{-3x} & \text{pro } x > 0 , 0 \leq y \leq 3 \\ 0 & \text{jinak} \end{cases}.$$

Nejprve nalezneme střední hodnoty $E[X]$ a $E[Y]$:

$$E[X] = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{3} x \cdot e^{-3x} dy \, dx = \int_{0}^{\infty} 3x \cdot e^{-3x} dx = \frac{1}{3},$$

$$E[Y] = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{3} y \cdot e^{-3x} dy \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{3y^2}{2} \cdot e^{-3x} \bigg|_0^3 dx = \frac{9}{2}.$$

$$E[Z] = (E[X], E[Y])^T = \left(\frac{1}{3}, \frac{9}{2}\right)^T.$$

Dále, spočítáme

$$E[X^2] = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{3} x^2 \cdot e^{-3x} dy \, dx = \int_{0}^{\infty} 3x^2 \cdot e^{-3x} dx = \frac{2}{9},$$

$$E[XY] = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{3} xy \cdot e^{-3x} dy \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{3x^2y^2}{2} \cdot e^{-3x} \bigg|_0^3 dx = 3.$$

Nyní můžeme vypočítat kovarianci a varianci:

$$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 3 - \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = 0,$$

$$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{9} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9},$$

$$\text{Var}(Y) = \frac{9}{2} - \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.$$

Varianční matice náhodného vektoru $Z$ je pak

$$\text{Cov}(Z) = \begin{bmatrix} \text{Var}(X) & \text{Cov}(X, Y) \\ \text{Cov}(Y, X) & \text{Var}(Y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & \frac{9}{4} \end{bmatrix}.$$

(b) Nyní nalezneme varianci $3X - 2Y$:

$$\text{Var}(3X - 2Y) = 3^2 \text{Var}(X) + (-2)^2 \text{Var}(Y) + 2 \cdot 3 \cdot (-2) \text{Cov}(X, Y) = 9 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{9}{4} + 0 = 1 + 9 = 10$$