Teorie 1

PR1

Uvažujme náhodný vektor $Y = (Y_1, Y_2, Y_3)^T$ s vícezměrným normálním rozdělením, $Y \sim N(\mu, \Sigma)$, určeným parametry $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)^T \in \mathbb{R}^3$ a $\Sigma = (\Sigma_{ij}) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$.

• Pro náhodnou veličinu $Z = Y_1 \cdot Y_2$ platí, že $E[Z] = \Sigma_{12}$.
• Náhodné veličiny $Y_1, Y_2, Y_3$ jsou nezávislé právě tehdy, když matice $\Sigma$ je diagonální.
• Matice $\Sigma$ je vždy pozitivně semidefinitní.
• Náhodná veličina $2 \cdot Y_3$ má normální rozdělení se střední hodnotou $2\mu_3$ a rozptylem $2\Sigma_{33}$.

PR2

Uvažujme náhodný vektor $X = (X_1, \ldots, X_n)^T$ s vícezměrným normálním rozdělením, $X \sim N(\mu, \Sigma)$, určeným parametry $\mu = (\mu_1, \ldots, \mu_n)^T \in \mathbb{R}^n$ a $\Sigma = (\Sigma_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n}$.

(a) Pro střední hodnotu náhodného vektoru $Y = 2X + \mu$ platí, že $E[Y] = 3\mu$. (b) Náhodný vektor $X$ má spojité sdružené rozdělení. (c) Náhodná veličina $Y = X_1 + X_2$ má normální rozdělení se střední hodnotou $\mu_1 + \mu_2$ a rozptylem $\Sigma_{1,1} + \Sigma_{2,2}$. (d) $\Sigma$ je pozitivně semidefinitní matice.

PR3

Uvažujme náhodný vektor

$$X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} \sim N \left( \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{pmatrix} \right)$$

Označme

$$\mu = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix} \ \ \ \text{ a } \ \ \ \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{pmatrix}$$

(a) Pro náhodnou veličinu $Y = 2X_1X_2$ platí, že $E[Y] = 2\sigma_{12} + 2\mu_1\mu_2$. (b) Rozptyl $X_1$ je $\sigma_{11}$. (c) Je-li $U \in \mathbb{R}^{p \times 2}$ matice, pak $Y = UX \sim N(U\mu, U\Sigma U^T)$. (d) Náhodný vektor $X$ má vždy spojité sdružené rozdělení.

PR4

Uvažujme náhodné vektory $X = (X_1, \ldots, X_4)^T$ a $Y = (Y_1, \ldots, Y_3)^T$ a matici $B \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$ takovou, že $Y = B \cdot X$.

(a) $E[X] = B^T E[Y]$. (b) Pokud $X$ má vícezměrné normální rozdělení, pak $Y$ má také nutně vícezměrné normální rozdělení. (c) Pokud $X$ má spojité sdružené rozdělení, pak $Y$ má také nutně spojité sdružené rozdělení. (d) Pokud variační matice var($X$) mimo diagonálu obsahuje nenulové prvky, pak složky $X$ nejsou nezávislé.

PR5

Uvažujme náhodný vektor $X = (X_1, \ldots, X_n)^T$ s vícezměrným normálním rozdělením, $X \sim N(\mu, \Sigma)$, určeným parametry $\mu = (\mu_1, \ldots, \mu_n)^T \in \mathbb{R}^n$ a $\Sigma = (\Sigma_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n}$.

(a) Rozptyl $X_1$ je $\Sigma_{1,1}$. (b) Pro každé $a \in \mathbb{R}^n$ platí $a^T \Sigma a \geq 0$. (c) Náhodná veličina $Y = X_1 - X_2$ má normální rozdělení se střední hodnotou $\mu_1 - \mu_2$ a rozptylem $\Sigma_{1,1} - 2\Sigma_{1,2} + \Sigma_{2,2}$. (d) Je-li matice $\Sigma$ pozitivně definitní, má náhodný vektor $X$ spojité sdružené rozdělení.

PR6

Uvažujme náhodné vektory $X = (X_1, \ldots, X_n)^T$ a $Y = -X$.

(a) Pro varianční matici platí $\text{var}(X) = E[(X - E[X])(X - E[X])^T]$. (b) Je-li $M \in \mathbb{R}^{p \times n}$ matice a $a \in \mathbb{R}^p$ vektor, pak $\text{var}(a + MX) = aa^T + M\text{var}(X)M^T$. (c) Varianční matice $\text{var}(Y)$ je negativně semidefinitní. (d) $\text{var}(X + Y) = 4\text{var}(X)$.

PR7

Uvažujme náhodný vektor $Y = (Y_1, Y_2, Y_3)^T$ s vícezměrným normálním rozdělením, $Y \sim N(\mu, \Sigma)$, určeným parametry $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)^T \in \mathbb{R}^3$ a $\Sigma = (\Sigma_{ij}) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$.

(a) Pro každé $a \in \mathbb{R}^3$ platí $a^T \Sigma a \geq 0$. (b) Rozptyl $Y_2$ je $\Sigma_{2,2}$. (c) Matice $\Sigma$ je vždy pozitivně definitní. (d) Náhodná veličina $Z = Y_1 + Y_3$ má normální rozdělení se střední hodnotou $\mu_1 + \mu_3$ a rozptylem $\Sigma_{1,1} + \Sigma_{1,3} + \Sigma_{3,1} + \Sigma_{3,3}$.

PR8

Uvažujme náhodný vektor $X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} \sim N \left( \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{pmatrix} \right)$.

(a) Na náhodné veličiny $X_1, X_2$ jsou nezávislé právě tehdy, když $\sigma_{12} = \sigma_{21} = 0$. (b) Platí, že $\text{cov}(X_1, X_2) = \sigma_{12} - \mu_1\mu_2$. (c) Pokud $\sigma_{ij} \neq 0$ pro všechna $i, j \in \{1, 2\}$, pak vektor $(X_1, X_2)^T$ má spojité sdružené rozdělení. (d) Platí, že $X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_{11} + \sigma_{22})$.