Praktika 1 Step by step guide

Výpočet střední hodnoty

1. Pokud je matice zadaná jako náhodný vektor, například: $V = \begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}\sim N \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right)$ a $U=(X+Y,Y-Z)^T$, pak postupujeme následovně:

   1. Definujeme matici $A$, takže řádky budou tvořit jednotlivé prvky. Například $X+Y$ by tvořilo řádek: $(1,1,0)$ .
   2. Střední hodnota náhodného vektoru $U$ je definována jako: $E(U) = AE(X)$. Takže pokud je $X$ vektor: $(1,2,3)^T$, dosadíme ho do výrazu. Pokud by $X=4$, dosadíme hodnotu $4$.

2. Máme-li dvě nezávislé veličiny $X$ a $Y$, například: $X \sim N(-1, 4)$ a $Y \sim N(3, 25)$, můžeme je převést na postup 1. následovně:

   1. Matici $\hat{X}$ definujeme tak, že původní náhodné veličiny napíšeme do řádků: $\hat{X} = \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\sim N \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix} \right)$

	y = 0	y = 1	y = 2
x = -1	1/8	1/8	0
x = 0	0	0	1/2
x = 1	1/4	0	0

1. Pokud je příklad zadaný ve formě tabulky a potřebujeme najít $Z=(X,Y)^T$, postupujeme takto:

   1. Uvědomíme si, že: $E[Z] = E[(X, Y)^T] = (E[X], E[Y])^T$
   2. Spočítáme $E[X]$ a $E[Y]$ pomocí vzorce $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$
      1. $E[X] = \sum x \cdot P(X=x) = -1 \cdot (\frac{1}{8}+\frac{1}{8}) + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} = 0$
      2. $E[Y] = \sum y \cdot P(Y=y) = 0 \cdot (\frac{1}{8}+\frac{1}{4}) + 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{4} = 1$

2. Pokud je příklad zadaný ve formě tabulky a potřebujeme najít $Z=(X,X+Y)^T$, postupujeme stejně jako v předchozím bodě, ale budeme muset také spočítat $E[X+Y]$. Tedy vzorec je následující:

   1. $E[X+Y]=\sum_x\sum_y=(x+y)p(X=x,Y=y)$
   2. Zde $x$ a $y$ jsou hodnoty náhodných veličin $X$ a $Y$, a součet je přes všechny možné kombinace hodnot $x$ a $y$.

Výpočet kovarianční matice

1. Pokud máme náhodný vektor ve formě matice, například: $V = \begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}\sim N \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right)$ a $U=(X+Y,Y-Z)^T$, pak postupujeme takto:

   1. Definujeme matici $A$ tak, že řádky tvoří jednotlivé prvky, například $X+Y$ by tvořilo řádek: $(1,1,0)$.
   2. Kovarianční matice náhodného vektoru $U$ je definována jako: $Var(U) = A Var(X) A^T$.

2. Pokud máme dvě nezávislé veličiny $X$ a $Y$, například $X \sim N(-1, 4)$ a $Y \sim N(3, 25)$, můžeme je převést na postup 1. následovně:

   1. Definujeme matici $\hat{X}$ tak, že do řádků napíšeme původní náhodné veličiny: $\hat{X} = \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\sim N \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix} \right)$
   2. Kovarianční matice náhodného vektoru $\hat{X}$ je potom diagonální matice, kde diagonální prvky jsou variance náhodných veličin $X$ a $Y$ a spocteme zase $Var(U) = A Var(X) A^T$.

3. Pokud máme údaje ve formě tabulky a potřebujeme najít kovarianční matici pro vektor $Z=(X,Y)^T$, postupujeme takto:

   1. Spočítáme $E[X^2]$, $E[Y^2]$ a $E[XY]$.
   2. Kovariance $X$ a $Y$ je $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$.
   3. Kovarianční matice $Z$ je pak $\begin{pmatrix} Var(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(X,Y) & Var(Y) \end{pmatrix}$, kde $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a $Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2$.

4. Pokud máme údaje ve formě tabulky a potřebujeme najít kovarianční matici pro vektor $Z=(X,X+Y)^T$, postupujeme stejně jako v předchozím bodě, ale budeme muset také spočítat $E[(X+Y)^2]$ a $E[X(X+Y)]$.

   1. Kovarianční matice $Z$ je pak $\begin{pmatrix} Var(X) & Cov(X,X+Y) \\ Cov(X,X+Y) & Var(X+Y) \end{pmatrix}$, kde $Var(X+Y) = E[(X+Y)^2] - (E[X+Y])^2$ a $Cov(X, X+Y) = E[X(X+Y)] - E[X]E[X+Y]$.

Shrnutí důležitých vzorců pro výpočet střední hodnoty a kovarianční matice

Výpočet střední hodnoty

1. Střední hodnota pro náhodný vektor $U = A*X$, kde $X$ je náhodný vektor a $A$ je matice transformace, je daná jako $E(U) = A*E(X)$.

2. Střední hodnota pro náhodnou veličinu $X$ s pravděpodobnostní funkcí $P(X=x)$ je daná jako $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$.

3. Střední hodnota pro náhodnou veličinu $Z=(X,Y)^T$ je $E[Z] = E[(X, Y)^T] = (E[X], E[Y])^T$.

4. Střední hodnota pro náhodnou veličinu $Z=(X,X+Y)^T$ je $E[Z] = E[(X, X+Y)^T] = (E[X], E[X+Y])^T$.

Výpočet kovarianční matice

1. Kovarianční matice pro náhodný vektor $U = A*X$, kde $X$ je náhodný vektor a $A$ je matice transformace, je daná jako $Var(U) = A*Var(X)*A^T$.

2. Kovarianční matice pro náhodný vektor $\hat{X} = \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}$, kde $X$ a $Y$ jsou nezávislé náhodné veličiny, je diagonální matice s variancemi $X$ a $Y$ na diagonále.

3. Kovarianční matice pro náhodný vektor $Z=(X,Y)^T$ je $\begin{pmatrix} Var(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(X,Y) & Var(Y) \end{pmatrix}$, kde $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a $Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2$, a $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$.

4. Kovarianční matice pro náhodný vektor $Z=(X,X+Y)^T$ je $\begin{pmatrix} Var(X) & Cov(X,X+Y) \\ Cov(X,X+Y) & Var(X+Y) \end{pmatrix}$, kde $Var(X+Y) = E[(X+Y)^2] - (E[X+Y])^2$ a $Cov(X, X+Y) = E[X(X+Y)] - E[X]E[X+Y]$.