Vzorce pokus 2 condensed

Jsou 3 moznosti jak bude vypadat testova statistika - Zamítneme $H_0 : \theta = \theta_0$ ve prospěch oboustranné alternativy $H_A : \theta \neq \theta_0$ , pokud testovaná hodnota $\theta_0$ neleží v oboustranném konfidenčním intervalu.

Zamítneme $H_0 : \theta \leq \theta_0$ ve prospěch jednostranné alternativy $H_A : \theta > \theta_0$ , pokud testovaná hodnota $\theta_0$ neleží v horním jednostranném konfidenčním intervalu.
Zamítneme $H_0 : \theta \geq \theta_0$ ve prospěch jednostranné alternativy $H_A : \theta < \theta_0$ , pokud testovaná hodnota $\theta_0$ neleží v dolním jednostranném konfidenčním intervalu.

Pokud se jedna o oboustrany iterval vzdy je $\alpha/2$ pokud se jedna o jednostrany interval je to pouze $\alpha$ u chi kvadrat ( $\chi^2$ ) rozdeleni jeste u oboustraneho rozdeleni tam je $1-\alpha/2$ a $\alpha/2$

Zde je několik bodů, které stojí za zmínku pro ty, kdo nejsou obeznámeni s těmito koncepty:

$\overline{X}_n$ je průměrná hodnota vzorku (průměr vzorku).
$\mu_0$ je hypotetická střední hodnota populace.
$\sigma$ je standardní odchylka populace.
$n$ je velikost vzorku.
$s_n$ je standardní odchylka vzorku.
$Z$ je rozdíl mezi párovými hodnotami.
$n1$ a $n2$ jsou velikosti dvou různých vzorků.
$s^2_1$ a $s^2_2$ jsou variace dvou různých vzorků.
$O_i$ a $E_i$ jsou pozorované a očekávané frekvence kategorie $i$ .
$r$ a $c$ jsou počet řádků a sloupců v kontingenční tabulce.
$F$ , $t$ , $z$ , $\chi^2$ a jejich indexy s $\alpha$ jsou kritické hodnoty z příslušných distribucí pravděpodobnosti pro danou hladinu významnosti $\alpha$ .
Stupně volnosti (označené jako $\nu$ nebo $n-1$ , $n1+n2-2$ , atd.) jsou počty hodnot v konečné vzorce, které se mohou volně měnit.

Pokud jste na něco zapomněl nebo pokud je něco, co byste rád věděl více o některých z těchto testů, dejte mi vědět!

Jednovyberovy t-test Testy o střední hodnotě na hladině významnosti $α$
Známe rozptyl

Používá se, když máme k dispozici velkou vzorku (obvykle více než 30 pozorování) a známe standardní odchylku populace. Testuje hypotézu, že střední hodnota populace je rovna určité hodnotě.

 $$ T = \frac{\overline{X}_n - \mu_0}{\sigma}\sqrt{n} $$  
 Hypotézu zamítáme, pokud $|T| \geq z_{\alpha/2}$

Neznáme rozptyl

Používá se, když máme k dispozici malou vzorku (obvykle méně než 30 pozorování) a neznáme standardní odchylku populace. Testuje hypotézu, že střední hodnota populace je rovna určité hodnotě.

 $$ T = \frac{\overline{X}_n - \mu_0}{s_n}\sqrt{n} $$  
 Hypotézu zamítáme, pokud $|T| \geq t_{\alpha/2, n-1}$

Testy o rozptylu na hladině významnosti $α$

Používá se k testování hypotézy, že rozptyl populace je roven určité hodnotě.

$$ T = \frac{(n-1)s^2_n}{\sigma^2_0} $$ 
Hypotézu zamítáme, pokud $T \leq \chi^2_{\alpha/2, n-1}$ nebo $T \geq \chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$

Párový t-test

Používá se, když máme párová nebo opakovaná měření (např. před a po léčbě). Testuje hypotézu, že střední hodnota rozdílu je rovna určité hodnotě.

$T = \frac{\overline{Z}_n}{s_Z/\sqrt{n}}$ Hypotézu zamítáme, pokud $|T| \geq t_{\alpha/2, n-1}$ . Kde $\overline{Z}_n=X_n-Y_n$

Dvouvýběrový t-test
Stejné rozptyly

Používá se, když máme dva nezávislé výběry a předpokládáme, že mají stejné rozptyly. Testuje hypotézu, že střední hodnoty dvou populací jsou stejné.

 $$ T = \frac{\overline{X}_{n1} - \overline{X}_{n2}}{s_p\sqrt{\frac{1}{n1}+\frac{1}{n2}}} $$, kde $s_p$ je společný odhad směrodatné odchylky


 Hypotézu zamítáme, pokud $|T| \geq t_{\alpha/2, n1+n2-2}$

Různé rozptyly

Používá se, když máme dva nezávislé výběry a nepředpokládáme, že mají stejné rozptyly. Testuje hypotézu, že střední hodnoty dvou populací jsou stejné.

 $$ T = \frac{\overline{X}_{n1} - \overline{X}_{n2}}{\sqrt{\frac{s^2_{1}}{n1}+\frac{s^2_{2}}{n2}}} $$
 Hypotézu zamítáme, pokud $|T| \geq t_{\alpha/2, \nu}$, kde $\nu$ je stupně volnosti vypočtené pomocí Welch-Satterthwaite rovnice

F-test rovnosti rozptylů

Používá se k testování hypotézy, že rozptyly dvou populací jsou stejné.

$F = \frac{s^2_1}{s^2_2}$ Hypotézu zamítáme, pokud $F \leq F_{\alpha/2, n1-1, n2-1}$ nebo $F \geq F_{1-\alpha/2, n1-1, n2-1}$

Test $\chi^2$ při známých parametrech

Používá se k testování hypotézy, že pozorované frekvence se shodují s očekávanými frekvencemi.

$T = \sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ , kde $O_i$ je pozorované hodnoty a $E_i$ je očekávané hodnoty Hypotézu zamítáme, pokud $T \geq \chi^2_{\alpha, n-1}$

Test $\chi^2$ při neznámých parametrech

Používá se k testování hypotézy, že pozorované frekvence se shodují s očekávanými frekvencemi, když jsou určité parametry odhadovány z dat.

$T = \sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ , kde $O_i$ je pozorované hodnoty a $E_i$ je očekávané hodnoty Hypotézu zamítáme, pokud $T \geq \chi^2_{\alpha, n-k-1}$ , kde $k$ je počet odhadovaných parametrů

Test nezávislosti v kontingenčních tabulkách

Používá se k testování hypotézy, že dvě kategorie jsou nezávislé.

$T = \sum \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$ , kde $O_{ij}$ je pozorované hodnoty a $E_{ij}$ je očekávané hodnoty Hypotézu zamítáme, pokud $T \geq \chi^2_{\alpha, (r-1)(c-1)}$ , kde $r$ je počet řádků a $c$ je počet sloupců v kontingenční tabulce