1. Teorie grup: Grupoidy, pologrupy, monoidy a grupy. Podgrupy, cyklické grupy a jejich generátory. (NI-MPI)

---

Teorie grup

Teorie grup se zaměřuje na algebraické struktury a jejich vlastnosti. Grupoidy a jejich deriváty (Grupa, pologrupa,...) se skládají z množiny nad kterou je definovaná nějaká operace a tato struktura splňuje nějaké vlastnosti.

Grupy

Binární operace: Mějme množinu $\mathbb{M}$ definujme pojem binární operace jako: $\circ: \mathbb{M} \times \mathbb{M} \rightarrow \mathbb{M}$, tedy dvojci prvku z nasi množiny přiradí prvek z té same množiny.

Important

Hierarchie algebraických struktur

Algebraické struktury se postupně zpřesňují podle splněných vlastností:

1. Grupoid
   • Jedna se o uspořádanou dvojci, množiny a binární operace
   • Množina $\mathbb{M}$ s binární operací $\circ$
   • Pro každou dvojici prvků existuje výsledek operace
   • Značí se: $G = (\mathbb{M},\circ)$
2. Pologrupa
   • Splňuje asociativní zákon
   • $$\forall a,b,c \in \mathbb{M}: (a\circ b) \circ c = a\circ (b\circ c)$$
3. Monoid
   • Obsahuje neutrální prvek $e$
   • $$\exists e \in \mathbb{M}, \forall a \in \mathbb{M}: e \circ a = a \circ e = a$$
4. Grupa
   • Ke každému prvku existuje inverzní prvek
   • $$\forall a \in \mathbb{M}, \exists a^{-1}\in\mathbb{M}: a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$$
5. Abelova (komutativní) grupa
   • Splňuje komutativní zákon
   • $$\forall a,b \in \mathbb{M}: a \circ b = b \circ a$$

Pokud tedy máme grupu: $(\mathbb{M},\circ)$ tak dokážeme najit výsledek pro rovnici:

$$\forall a,b \in \mathbb{M}, \exists x \in \mathbb{M}: a \circ x = b$$

Important

Charakteristiky grup

Řád grupy:

• Řád grupy je definovaná jako počet prvku v množině $\mathbb{M}$ grupy $G = (\mathbb{M},\circ)$
• Značí se: $\#G$
• Dělí se na konečné a nekonečné grupy

Řád prvku

• Řád prvku je kladné přirozené číslo $m$ takové které mocněním daného prvku dostaneme neutrální prvek. Bereme nejmenší takovéto číslo které to splňuje. Pokud takováto mocnina neexistuje říkáme ze rad je $\infty$.
  • Bud $g$ prvek grupy $G$. Pokud existuje kladné přirozené číslo $m$ splňující $g^m=e$, pak nejmenší takovéto číslo nazýváme řádem prvku $g$. Pokud takovéto číslo neexistuje, pak řekneme ze řád prvku $g$ je nekonečno.
• Značení: $\text{ord}(g)$

Konečné grupy:

• Jsou takové grupy které mají počitatelné množství prvků v množině $\mathbb{M}$ grupy $G = (\mathbb{M},\circ)$
• Například množina zbytků po děleni $6$ a sčítaní (coz je modulární grupa)
  • $G = (\mathbb{Z}_6,+_6)$

Nekonečné grupy

• Jsou takové grupy které mají nepočitatelný počet prvku v množině $\mathbb{M}$ grupy $G = (\mathbb{M},\circ)$

Podgrupy

Podgrupy jsou vlastně sami o sobe grupy které mají nadmnožinu která je taky grupa. Tedy vice formálně:

Important

Podgrupa:

• Mějme grupu $G = (\mathbb{M},\circ)$ a mějme podmnožinu $\mathbb{N}: \mathbb{N} \subseteq \mathbb{M}$ pokud $H = (\mathbb{N},\circ)$ je grupa tak pak $H$ je podgrupou $G$.

Triviální podgrupy

• Jsou takové podgrupy které vždy existuji. Jsou dvě:
  • $G\subseteq G$:
  • Tedy kde grupa $G$ je podgrupou sama sebe.
• $\{e\} \subseteq G$
  • Tedy kdy podgrupa se skládá pouze z neutrálního prvku
  • $H = (\{e\},\circ)$

Netriviální / Vlastní podgrupy

• Jsou opakem triviálních grup.
  • $$\mathbb{N} \subset \mathbb{M} \land \mathbb{N} \neq \mathbb{M} \land \{e\} \neq \mathbb{N}$$
• Příklady:
  • $$(\mathbb{Q},\cdot) \subseteq (\mathbb{R}^+,\cdot) \subseteq (\mathbb{R}\\ \{0\},\cdot)$$
• $$(\{0,2,4\},+_6) \subset (\mathbb{Z}_6,+_6)$$

Important

Lagrangeova veta

• Bud $H$ podgrupa konečné grupy $G$ potom řád $H$ dělí řád $G$

Modulární grupy

• Jsou takové podgrupy které se skládají z modulární množiny a modulárních operaci:
• Příklady:
  • $\mathbb{Z}_n^\times = (\{a \in \mathbb{Z}_n:gcd(a,n)=1,\times_n\})$

Grupy generované množinou

• Otázka je následující: Mějme množinu prvku $\mathbb{N}$ jaká je nejmenší množina která obsahuje všechny prvky v $\mathbb{N}$ a je zároveň grupou. Tuto množinu pak značíme $<\mathbb{N}>$
  • Definice: Podgrupu $<\mathbb{N}>$ grupy $G = (\mathbb{M},\circ), \mathbb{N}\subset \mathbb{M}$, nazýváme podgrupou generovanou množinou $N$.
    • Množinu $N$ pak nazýváme generující množinou grupy $<\mathbb{N}>$.
    • Pro jednoprvkovou množinu $\mathbb{N}=\{a\}$, zavadíme značení $<a>:=<\{a\}>$. Zde $a$ se nazývá generator grupy $<a>$
• Existuji dvě moznosti jak to zjistit:
  • Vnější metoda
    • Tato metoda funguje tak ze najdeme všechny podgrupy obsahující dany prvek a uděláme průnik těchto podgrup. Z toho získáme take podgrupu která je ta minimální. Toto je postavené na větě:
      • Libovolný průnik podgrup grupy $G$ je take podgrupa.
  • Vnitřní metoda
    • Tato metoda funguje tak ze vezmeme všechny prvky z grupy $\mathbb{N}$ a uděláme všechny permutace, a všechny mocniny daných prvku. Tim pak získáme danou množinu. Toto se nazývá grupový obal a je definován takto:
      • $<\mathbb{N}> = \{a_1^{k_1} \circ a_2^{k_2} \circ \dots a_n^{k_n} : n \in \mathbb{N},k_i \in \mathbb{Z}, a_i \in \mathbb{N}\}$

Important

Cyklická grupa

• Jedna se o speciální případ Grupy generované množinou. Kde množina se skládá pouze z jednoho prvku $a$. Tento prvek pak vygeneruje danou grupu.
  • Grupa $G = (\mathbb{M},\circ)$ se nazývá cyklická pokud existuje prvek $a \in \mathbb{M}$ takový, ze $<a> = G$. Tomuto prvku pak říkáme generator.
• Příklad:
  • $\mathbb{Z}_{10}^\times = (\{1,3,7,9\},\times_{10})$ Generator je: $<3>=<7>=\mathbb{Z}_{10}^\times$
  • $\mathbb{Z}_n^+$ jsou všechny cyklické pro $\forall n\ge2$
  • $(\mathbb{Z},+)$ je nekonečna cyklická grupa
  • $\mathbb{Z}_n^\times$ je cyklická pouze pro: $2,4,p^k,2p^k$ kde $p$ je liché prvočíslo a $k$ je kladné přirozené číslo
• Je-li $(𝐺, \circ)$ cyklická grupa řádu $𝑛$ a $𝑎$ nějaký její generátor, potom $𝑎^𝑘$ je také generátor tehdy, a jen tehdy, když $𝑘$ a $𝑛$ jsou nesoudělná: $\text{gcd}(𝑘, 𝑛) = 1$
• V cyklické grupě řádu $n$ je počet generátorů roven Eulerovy funkci: $𝜑(n)$