2. Tělesa a okruhy: Základní definice a vlastnosti. Konečná tělesa. Okruhy polynomů, ireducibilní polynom. (NI-MPI)

---

Okruh

• Okruh je množina která ma dvě operace spolu s nějakými vlastnostmi. Standartně značíme tyto binární operace jako sčítaný a násobeni
• Okruh značíme: $R=(\mathbb{M},+,\cdot)$
• Vlastnosti které musí splňovat operace s množinami aby se jednalo o okruh:
  • $(\mathbb{M},+)$ je Abelova grupa
    • Neutrální prvek je roven nulovému prvku značí se: $0$
    • Inverzní prvek značíme: $-a$
    • Můžeme definovat odčítaní: $a-b:=a+(-b)$
  • $(\mathbb{M},\cdot)$ je Monoid
    • Neutrální prvek je: $1$
    • Inverzní prvek značíme: $a^{-1}$
    • Je-li binární operace $\cdot$ komutativní tak se jedna o komutativní okruh
  • platí levý a pravý distributivní zákon
    • $\forall a,b,c \in \mathbb{M}: \quad a(b+c)=ab+ac \quad \land \quad (b+c)a=ba+ca$
• Standartně platí násobeni ma přednost pred sčítáním
• Příklady okruhu:
  • $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ - jedna se o komutativní okruh
  • $(\mathbb{R}^{n,n},+,\cdot)$ - jedna se o okruh
  • $(\mathbb{Z}_n,+_n,\cdot_n)$ - jedna se o komutativní okruh
• Vlastnosti:
  • Levy i pravý distributivní zákon pro odečítaní:
    • $\forall a,b,c \in \mathbb{M}: \quad a(b-c)=ab-ac \quad \land \quad (b-c)a=ba-ca$
  • Násobeni nulovým prvkem dostáváme opět nulový prvek
    • $\forall a \in \mathbb{M}: a \cdot 0 = 0 \quad \land \quad 0 \cdot a = 0$

Těleso

• Těleso je okruh s tím ze musí byt splněny striktnější podmínky
• Vlastnosti které musí splňovat okruh aby se jednalo o těleso:
  • $(\mathbb{M} \setminus \{0\},\cdot)$ je Abelova grupa
    • Můžeme definovat děleni: $\frac{a}{b} := a \cdot b^{-1}$
• Příklady tělesa:
  • $(\mathbb{Q},+,\cdot)$
  • $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ - je těleso pokud $n$ je prvočíslo
• Vlastnosti:
  • pokud $ab = 0$ tak $a = 0$ nebo $b = 0$

Konečná tělesa

• Těleso které ma konečný počet prvků
• Řád tělesa:
  • Řád tělesa je definovaná jako počet prvků v tělese $T$
• Příklady:
  • $(\mathbb{Z}_p,+_p,\circ_p)$ kde $p$ je prvočíslo

Galois field

• Jedna se o konečné těleso s $p^n$ prvky
• Každé konečné těleso je Galois Field
• Značíme ho: $\text{GF}(p^n)$
• Prvočíslo $p$ se nazývá charakteristika tělesa
• Vlastnosti:
  • Aditivní grupa
    • Řád: $p^n$
    • Inverze: $\sum_{i=0}^{n-1}(p-b_i)x^i$
    • Pro $n > 1$ není cyklická
  • Multiplikativní grupa
    • Řád: $p^n-1$ (vynecháváme nulový prvek: $0$)
    • Neutrální prvek: $1$ neboli pro polynom $1x^0$
    • Je vždy cyklická
    • Inverze lze zjistit pomoci rozšířeného Euklidova algoritmu

Okruhy polynomů

• Jedna se vlastně o okruh nad kterými je definován i polynom kde polynomy jsou potom z daného okruhu
• Formální vyraz:
  • Mějme okruh $R = (\mathbb{M},+,\cdot)$ pak $p(x)$ nazveme polynomem nad okruhem $R$ pokud: $$a_i \in R, i=0,1,...,n:\quad p(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$$
  • Značíme tento okruh jako: $R[x]$
• Nad okruhem z polynomu je definováno sčítaní a násobení polynomu:
  • Sčítaní: $$\sum_{i=0}^{n}a_ix^i + \sum_{i=0}^{n}b_ix^i := \sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i$$
  • Násobení: $$(\sum_{i=0}^{n}a_ix^i) \cdot (\sum_{i=0}^{m}b_ix^i) := \sum_{i=0}^{n+m}(\sum_{j+k=i}^{n}(a_jb_k))x^i$$

Charakteristiky okruhu polynomu

Stupeň polynomu

• Laicky: Jedna se o nejvyšší mocninu v polynomu
• Pokud pro polynom $p(x)$ existuje $k \in \{0,1,...,n\}$ takové ze $a_k \neq 0$, pak nejvyšší z těchto $k$ nazýváme stupeň polynomu $p(x)$
• Značení: $\text{deg}(p(x))$
• Pokud je polynom nulový: $p(x) = 0$ pak stupeň nedefinujeme

Vlastnosti Okruhu polynomů nad Tělesem

• Násobení polynomů:
  • Mějme těleso $T$ a $f(x),g(x) \in T[X]: \quad f(x)\neq 0 \land g(x) \neq 0$: $$deg(f(x)\cdot g(x))= deg(f(x)) + deg(g(x))$$
• Dělení polynomů
  • Mějme těleso $T$ a $f(x),g(x) \in T[X]: \quad f(x)\neq 0 \land g(x) \neq 0$ pak existuji jednoznačně určené polynomy: $q(x),r(x) \in T[x]$ takové: $$f(x) = q(x)g(x)+r(x)$$
  • $r(x)$ je buď nulový nebo má stupeň ostře menší než stupeň $g(x)$.
• Bézoutova rovnost pro polynomy
  • Mějme těleso $T$ a $f(x),g(x) \in T[X]: \quad f(x)\neq 0 \land g(x) \neq 0$ pak existuji polynomy: $u(x),v(x) \in T[x]$ takové: $$gcd(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)$$
• Koren polynomu
  • $\xi \in T$ nazýváme kořenem polynomu $p(\xi)=0$
  • Bud $T$ těleso a $p(x) \in T[x]$ polynom stupně $n$. Prvek $\xi \in T$ je kořenem $p(x)$ právě tehdy když: $$p(x)=(x-\xi)g(x),\quad \text{kde }g(x) \in T[x]\ \land\ \text{deg}(g(x))=n-1$$

Ireducibilní polynom

• Jedna se vlastně o nerozložitelný polynom
• Bud $p(x) \in K[x]\ \land\ \text{deg}(p(x))\geq 1$. Řekneme ze $p(x)$ je ireducibilní nad okruhem $K$, jestliže pro každé dva polynomy $a(x), b(x) \in K[x]$ platí: $$a(x)\cdot b(x) = p(x) \Longrightarrow (\text{deg}(a(x)) = 0\ \lor\ \text{deg}(b(x)) = 0)$$
• Vlastnosti:
  • Každý polynom $p(x)$ nad tělesem $T$, který ma stupeň $1$, je ireducibilní
  • Každý polynom $p(x)$ nad tělesem $T$, který ma stupeň $2$ nebo $3$, je ireducibilní právě tehdy, když nemá kořen
• Příklady:
  • $x^2+1$ je ireducibilní nad $\mathbb{R}$
  • $x^2+1$ NENÍ ireducibilní nad $\mathbb{C}$
  • $x^2+1$ NENÍ ireducibilní nad $\mathbb{Z}_2$
  • $x^2+x+1$ je ireducibilní nad $\mathbb{Z}_2$