20. Časové řady: aditivní a multiplikativní dekompozice, momenty (střední hodnota, rozptyl, autokovariance). Druhy stacionarity a rozdíl mezi nimi. Základní vlastnosti náhodné procházky a bílého šumu. (NI-SCR)¶

Časové řady¶

Časové řady představují sled hodnot měřených nebo pozorovaných v pravidelných časových intervalech. Analýza časových řad má tři hlavní cíle:

Popis pozorovaného jevu: Identifikace a charakterizace dynamiky sledovaného procesu.
Predikce budoucího vývoje: Na základě zjištěných vzorců a modelů lze předpovídat další chování systému.
Řízení: Pochopení mechanismů generujících časovou řadu umožňuje ovlivňovat a optimalizovat daný systém.

Dekompozice časových řad¶

Časová řada se často rozkládá na několik složek, které dohromady vysvětlují její celkové chování. Mezi hlavní složky patří:

Trendová složka ( $T$ ): Zachycuje dlouhodobý vývoj, tedy rostoucí nebo klesající tendence.
Sezónní složka ( $S$ ): Odráží pravidelné, periodické změny, které se opakují v rámci například jednoho roku.
Cyklická složka ( $C$ ): Popisuje dlouhodobé fluktuace kolem trendu, které ale nejsou pravidelné jako sezónnost (např. hospodářské cykly).
Nepravidelné fluktuace nebo náhodná složka ( $\varepsilon$ ): Zachycuje všechny nepravidelné, nepredikovatelné odchylky, které nejsou vysvětleny ostatními složkami.

Aditivní a multiplikativní dekompozice¶

Každý model dekompozice se liší způsobem, jakým se skládají jednotlivé složky do výsledné časové řady.

Aditivní dekompozice:
- V aditivním modelu se předpokládá, že jednotlivé složky se "sčítají". $Y_t = T_t + S_t + C_t + \varepsilon_t$
- Všechny složky jsou vyjádřeny ve stejných jednotkách jako původní časová řada $Y_t$ . Tento přístup se hodí, pokud velikost fluktuací nezávisí na úrovni řady.
Multiplikativní dekompozice:
- U multiplikativního modelu jsou složky kombinovány násobením: $Y_t = T_t \cdot S_t \cdot C_t \cdot \varepsilon_t$
- Trendová složka $T_t$ je ve stejných jednotkách jako $Y_t$ , zatímco ostatní složky jsou bezrozměrné. Tento model využijeme, když amplituda sezónních a cyklických fluktuací roste či klesá v závislosti na úrovni časové řady.

Momenty¶

Momenty popisují rozložení hodnot časové řady.

Moment	Vzorec	Popis
Střední hodnota	$\mu = E(Y)$	Průměrná hodnota, kolem které se hodnoty řady koncentrují.
Rozptyl	$\sigma^2 = E[(Y - \mu)^2]$	Míra variability hodnot kolem střední hodnoty.
Autokovariance	$\gamma_k = E[(Y_t - \mu)(Y_{t-k} - \mu)]$	Měří závislost mezi hodnotami oddělenými časovým posunem $k$ .

Stacionarita¶

Stacionarita časové řady znamená, že statistické vlastnosti (např. střední hodnota, rozptyl, autokovariance) jsou invariantní vůči posunu v čase. Jinými slovy: pokud posuneme časovou řadu, její základní charakteristiky zůstanou stejné.

Slabá stacionarita:
- Časová řada je slabě stacionární, pokud jsou invariantní vůči posunům v čase pouze momenty do druhého řádu.
- Důsledky:
  - Střední hodnota $E[X_t] = \mu$ je konstantní pro všechna $t$ .
  - Rozptyl $Var(X_t) = \sigma^2$ je konečný a nemění se v čase.
  - Kovariance mezi hodnotami, tj. $Cov(X_t, X_{t+\tau}) = \gamma(\tau)$ , závisí pouze na časovém posunu $\tau$ , nikoli na konkrétním čase $t$ .
Silná (striktní) stacionarita:
- Časová řada je silně stacionární, pokud pro libovolný počet časových bodů $t_1, t_2, \dots, t_n$ a libovolný posun $\tau$ platí:
- Sdružená distribuce $X_{t_1}, X_{t_2}, \dots, X_{t_n}$ je stejná jako distribuce $X_{t_1+\tau}, X_{t_2+\tau}, \dots, X_{t_n+\tau}$ .
- Důsledky:
  - Sdružená distribuční funkce $F_X(\cdot)$ není funkcí času, což znamená, že posun o libovolný čas $\tau$ nemá vliv na její tvar.
  - Všechny momenty (včetně střední hodnoty $\mu$ a rozptylu $\sigma^2$ ) jsou v čase konstantní.
  - Proces může konvergovat k limitní distribuci, kde pro všechna $t$ platí stejné rozdělení hodnot.

Bílý šum¶

Bílý šum je náhodný proces ${X_t}$ , kde každá hodnota je náhodně vybrána z určitého rozdělení.

Momenty:

Střední hodnota: $E(X_t) = 0$
Rozptyl: $\text{var}(X_t) = \sigma^2$
- Míra rozptylu kolem střední hodnoty se nemění v čase.
Autokovariance: $\text{cov}(X_t, X_{t+\tau}) = 0,\quad \tau > 0$
- Každá hodnota je nezávislá na ostatních.

Vlastnosti:

Bílý šum je silně stacionární
Pokud je rozděleni normální jedna se o

Náhodná procházka¶

Náhodná procházka je model časové řady, ve kterém každá následující hodnota závisí na předchozí hodnotě a náhodné složce odpovídající bílému šumu.

Model:

Náhodná procházka se vyjadřuje rovnicí: $Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_t$
Každý nový stav $Y_t$ vznikne přičtením nezávislé náhodné veličiny $\varepsilon_t$ , která má vlastnosti bílého šumu.

Momenty a vlastnosti:

Střední hodnota: $E(X_t) = 0$
- Kumulativní efekt přírůstků může vést ke změně hodnoty v průběhu času, Ale střední hodnota díky tomu ze každý krok využívá bílý šum je stale 0
Rozptyl: $Var(Y_t) = t \cdot \sigma^2$
- Rozptyl procesu roste s časem, jelikož se sčítá rozptyl jednotlivých nezávislých přírůstků.
- Kvůli tomuto nárůstu rozptylu není náhodná procházka stacionární.
Autokovariance:
- Autokovariance závisí na časovém posunu. Vzhledem k narůstajícímu rozptylu se autokorelační funkce již neudržuje konstantní, což dále potvrzuje, že proces není stacionární.

Vlastnosti:

Náhodná procházka není stacionární
Přírůstky v náhodné procházce jsou stacionární