22. Smíšené modely ARIMA: základní vlastnosti modelů/procesů, integrování a diferencování. Zápis ARIMA, včetně zápisu pomocí operátorů zpoždění a diference, speciální případy podle hodnot p, d, q. Problém redundance parametrů. (NI-SCR)

---

ARMA

ARMA(p,q) model je kombinací autoregresního procesu řádu p a procesu klouzavých průměrů řádu q. Standardní zápis bez konstanty:

$$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}$$

Pomocí operátoru zpoždění B:

$$\Phi X_t = \Theta \varepsilon_t$$

kde $\Phi=1-\sum_{i=1}^p \phi_i B^i$ a $\Theta=1+\sum_{i=1}^q \theta_i B^i$

Diferencování / Integrace

Operátor diference $\Delta$ je definován jako:

$$\begin{aligned} \Delta X_t &= X_t - X_{t-1} = (1-B) X_t \\ \Delta^d X_t &= (1-B)^d X_t \end{aligned}$$

Integrace je pak inverzní operace k diferencování - proces "sčítání" diferencí zpět na původní řadu.

Intuice

• Diferencování odstraňuje nestacionární trendy v datech
• První diference odstraňuje lineární trend
• Druhá diference odstraňuje kvadratický trend
• d-tá diference odstraňuje polynomiální trend stupně d

Vlastnosti

• Snižuje řád integrace časové řady
• Transformuje nestacionární řadu na stacionární
• Může vést ke ztrátě informací při přediferencování

ARIMA

Standardní zápis

ARIMA(p,d,q) model s konstantou c:

$$\Phi(1-B)^d X_t = c + \Theta \varepsilon_t$$ kde $\Phi=1-\sum_{i=1}^p \phi_i B^i$ a $\Theta=1+\sum_{i=1}^q \theta_i B^i$

Zápis pomocí zpoždění a diference

Pomocí operátorů B a $\Delta$:

$$\Phi\Delta^d X_t = c + \Theta \varepsilon_t$$

Vlastnosti modelu a procesu

• Kombinuje autoregresní část, integraci a klouzavé průměry
• Umožňuje modelovat nestacionární procesy
• Flexibilní framework pro analýzu časových řad
• Zachycuje krátkodobou i dlouhodobou dynamiku

Speciální případy hodnot

Model	Popis
ARIMA(0,0,0)+c	Konstantní model
ARIMA(0,1,0)	Model náhodné procházky
ARIMA(0,1,0)+c	Náhodná procházka s driftem
ARIMA(1,0,0)+c	AR(1) model
ARIMA(2,0,0)+c	AR(2) model
ARIMA(1,1,0)+c	AR(1) na diferencovaných datech
ARIMA(2,1,0)+c	AR(2) na diferencovaných datech
ARIMA(0,1,1)	Exponenciální vyhlazování - MA(1) na diferencovaných datech
ARIMA(0,1,1)+c	Exponenciální vyhlazování s lineárním trendem
ARIMA(1,1,2)	Exponenciální vyhlazování s tlumeným trendem
ARIMA(p,0,q)	ARMA model
ARIMA(0,d,0)	d-krát integrovaný bílý šum
ARIMA(p,1,0)	AR model na diferencovaných datech
ARIMA(0,0,q)	MA model
ARIMA(p,d,q)	Obecný ARIMA model

Problém redundance parametrů

Princip

Některé kombinace parametrů AR a MA části mohou vést ke stejnému nebo velmi podobnému chování modelu.

Vysvětlení

Dochází k tomu, když:

• AR a MA polynomy mají společné kořeny
• Parametry se vzájemně ruší nebo kompenzují
• Model je "přeparametrizovaný"

Matematicky

Když $\Phi(B)$ a $\Theta(B)$ mají společné faktory, lze model zjednodušit na model nižšího řádu. Například:

$$(1-\phi B)(1-\alpha B)X_t = (1-\alpha B)\varepsilon_t$$

se zjednoduší na:

$$(1-\phi B)X_t = \varepsilon_t$$

Obecná pravidla pro volbu řádů ARIMA modelů

• Základní pravidla pro volbu řádů p a q:

  • Obvykle p = 0 nebo q = 0 (často stačí jen AR nebo jen MA část)
  • p + q ≤ 3 (složitější modely jsou v praxi vzácné)
  • Volit co nejjednodušší model, který adekvátně popisuje data
  • Při výběru modelu využívat informační kritéria (AIC, BIC)

• Problémy složitějších modelů:

  • Koeficienty Φᵢ a θᵢ mohou pracovat proti sobě
  • Zvyšování řádů u obou částí může vést k vzájemnému rušení efektů
  • Redundance parametrů - AR a MA části modelu se mohou navzájem kompenzovat
  • Složitější modely jsou náchylnější k přeučení (overfitting)

• Výjimky a poznámky:

  • Mohou existovat i složitější modely porušující tato pravidla
  • I v těchto případech by měly být řády p, q relativně malé
  • Vždy je třeba ověřit stabilitu a invertibilitu modelu
  • Konečné rozhodnutí by mělo být podpořeno diagnostikou reziduí